Løysingsforslag prøve R1 - potensar, logaritmar og kontinuitet
Hugs forklaringar, utrekningar og svar på alle oppgåvene.
På del 2 må du ha med relevante forklaringar og skjermbilete når du nyttar digitale verktøy.
Del 1 - utan hjelpemiddel
Oppgåve 1
Skriv så enkelt som mogleg
a)
\[\frac{9^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-1} + 9^0}{8^{\frac{4}{3}}}\]
\[= \frac{\sqrt{9} \cdot \frac{1}{3} + 1}{8^{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} + 1}{8 \cdot \sqrt[3]{8}} = \frac{2}{8 \cdot 2} = \frac{1}{8}\]
b)
\[4\ln\left( a^3 \cdot b \right) - 3 \ln\left( a^2\cdot b\right) - \ln\left( \frac{b}{a}\right)\]
\[\begin{align*} &= 4(\ln a^3 + \ln b) - 3(\ln a^2 + \ln b) - (\ln b - \ln a) \\ &= 12 \ln a + 4 \ln b - 6 \ln a - 3 \ln b - \ln b + \ln a \\ &= 7 \ln a = \ln a^7 \end{align*}\]
Oppgåve 2
Bestem \(c\) slik at funksjonen \(f\) vert kontinuerleg.
\[f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{for } x < c \\ e^{4} & \text{for } x = c \\ e^{x+c} & \text{for } x > c \end{cases}\]
For at \(f\) skal vera kontinuerleg må \[\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c)\]
Grenseverdien frå undersida er
\[\lim_{x\to c^-} e^{2x} = e^{2c}\]
Grenseverdien frå oversida er
\[\lim_{x\to c^+} e^{x+c} = e^{2c}\]
Sidan \(f(c) = e^4\) må \(e^{2c} = e^4\) og dermed \(2c = 4\) og \(c = 2\).
Oppgåve 3
Løys likninga
\[2\lg(x+5)=\lg(x+3)\]
Bruker logaritmesetning til å forenkle likninga
\[\begin{align*} 2\lg(x+5) &= \lg(x+3) \\ \lg(x+5)^2 &= \lg(x+3) \\ (x+5)^2 &= x+3 \\ x^2 + 10x + 25 &= x + 3 \\ x^2 + 9x + 22 &= 0 \end{align*}\]
Ser at \(9^2 - 4\cdot 1 \cdot 22 = 81 - 88 = -7\) og dermed har likninga ingen reelle løysingar.
Diskriminanten til ein andregradslikning er \(b^2 - 4ac\). Henta frå abc-formelen \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\].
- Positiv diskriminant: To ulike reelle løysingar.
- Null diskriminant: Ei reell løysing.
- Negativ diskriminant: Ingen reelle løysingar.
Oppgåve 4
Løys likninga
\[e^{3x} - 5e^{2x} + 6e^x = 0\]
Faktoriserer likninga:
\[e^x( e^{2x} - 5e^x + 6) = 0\]
Ser at faktoren i parantesen er ei andregradslikning med \(e^x\) som variabel. Faktoriserer vidare:
\[e^x(e^x - 2)(e^x - 3) = 0\]
Dermed får me
\[\begin{align*} e^x &= 0 \quad \text{gjev inga løysing} \\ e^x &= 2 \quad \text{gjev } x = \ln 2 \\ e^x &= 3 \quad \text{gjev } x = \ln 3 \end{align*}\]
Oppgåve 5
Bestem \(k\) slik at funksjonen \(g\) vert kontinuerleg.
\[g(x) = \begin{cases} 3x+2 & \text{for } x\leq 1 \\ kx^2 & \text{for } x>1 \end{cases}\]
For at \(g\) skal vera kontinuerleg må \[\lim_{x\to 1^-} g(x) = \lim_{x\to 1^+} g(x) = g(1)\]
Grenseverdien frå undersida er
\[\lim_{x\to 1^-} 3x + 2 = 3 + 2 = 5\]
Grenseverdien frå oversida er
\[\lim_{x\to 1^+} kx^2 = k\]
Sidan \(g(1) = 5\) må \(k = 5\).
Oppgåve 6 (bonus)
Løys likninga
\[\lg(x)+\lg(x+1)=\lg(6)-\lg(x+2)\]
Startar med å forenkle likninga
\[\begin{align*} \lg(x)+\lg(x+1) &= \lg(6)-\lg(x+2) \\ \lg(x)+\lg(x+1) + \lg(x+2)&= \lg(6) \\ \lg(x(x+1)(x+2)) &= \lg(6) \\ x(x+1)(x+2) &= 6 \\ x^3 + 3x^2 + 2x &= 6 \\ x^3 + 3x^2 + 2x - 6 &= 0 \end{align*}\]
Dette er eit tredjegradspolynom. Ser om me kan finna ei rot. Prøver \(x=1\):
\[1^3 + 3\cdot 1^2 + 2\cdot 1 - 6 = 1 + 3 + 2 - 6 = 0\]
Dermed er \(x=1\) ei løysing og \((x-1)\) ein faktor. Deler polynomet på \((x-1)\):
\[\frac{x^3 + 3x^2 + 2x - 6}{x-1} = x^2 + 4x + 6\]
Dette er eit andregradspolynom utan reelle løysingar sidan diskriminanten er negativ: \[4^2 - 4\cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8\]
Dermed er \(x=1\) den einaste reelle løysinga til likninga.
Ser også at svaret er gyldig, sidan logaritmane i den opphavlege likninga er definerte for \(x>0\).
Del 2 - med hjelpemiddel
Oppgåve 7
Bruk CAS og avgjer kva \(a\) må vera for at funksjonen \(f\) skal vera kontinuerleg.
\[f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3 & \text{for } x \leq a \\ 2x - 5 & \text{for } x > a \end{cases}\]
Kommenter svaret.
Definerer funksjonen i CAS og finn grenseverdiar frå undersida og oversida. Set dei to grenseverdiane lik kvarandre og løyser likninga for \(a\).
Ser at \(a\) kan ta to ulike verdiar. Dette kjem nok av at andregradslikninga (\(x^2-4x+3\)) har to skjæringspunkt med linja \(2x-5\). Dermed vil funksjonen vera kontinuerleg uavhengig av kva for eit av skjæringspunkta \(a\) er \(x\)-verdien til.
Oppgåve 8
Me varmar opp eit objekt til 100°C og avkjøler dette i eit rom med konstant temperatur på 20°C. Temperaturen \(T\) (i grader celsius) til objektet etter \(t\) minutt kan beskrivast med funksjonen
\[T(t) = 20 + 80e^{-0.05t}\]
Teikn grafen til \(T(t)\) for \(0\leq t \leq 60\).
Finn grafisk kva den gjennomsnittlege vekstfarten til temperaturen mellom \(t=10\) og \(t=40\) er.
Finn grafisk kva den momentane vekstfarten til temperaturen er når \(t=30\).
Gje ei praktisk tolking av svara i b) og c).
Figur for alle deloppgåvene:
Teiknar grafen i CAS. Legg til namn på aksane og funksjonsuttrykket.
Teiknar punkta \(A = (10, T(10))\) og \(B =(40, T(40))\). Trekk ei linje mellom dei og ser på funksjonsuttrykket til linja. Ser at stigningstllet til linja er -1,25. Det betyr at mellom 10 og 40 min har temperaturen i gjennomsnitt minka med 1,25 grader i minuttet.
Teiknar tangenten til grafen i punktet \(t=30\) med kommandoen
Tangent(<punkt>, <funksjon>). Ser at stigningstllet til tangenten er -0,89. Dette er den momentane vekstfarten til temperaturen når \(t=30\). Altså minkar temperaturen med 0,89 grader i minuttet etter ein halvtime.(svart i b og c)